viernes, 10 de febrero de 2017

Arquímedes y el número Pi



Arquímedes y el número π

Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23). 


Traducido al lenguaje algebraico:
π=CD=3010

donde C es la circunferencia y D el diámetro.



En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:
π=(43)3=25681=3,1604938

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:
22371<π<22070
es decir
3,140845<π<3,142857

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:
πn=PnD
donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.


Observa en la figura, que hemos llamado a1 al lado del cuadrado inscrito y a2 al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale an? Por trigonometría podemos deducir que:
a1=2sin(45)
a2=2sin(452)
an=2sin(452n1)

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:
P1=4a1
P2=8a2
Pn=2n+1an

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:
π=limnPnD=limn[2n+1sin(452n1)]

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.

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